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Eigenschaften bezüglich des Eigenwertproblems


1. Anzahl der Eigenwerte: Die Matrix hat genau reelle Eigenwerte die entsprechend ihrer Vielfachheit zu zählen sind.
2. Orthogonalität der Eigenvektoren: Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren und sind orthogonal, d.h., es gilt
(4.126)


3. Matrix mit p-fachem Eigenwert: Zu einem -fachen Eigenwert existieren linear unabhängige Eigenvektoren Wegen (4.124) sind auch alle nichttrivialen Linearkombinationen Eigenvektoren zu . Davon können mit Hilfe des GRAM-SCHMIDTschen Orthogonalisierungsverfahrens ausgewählt werden, die orthogonal sind. Insgesamt gilt: Die Matrix besitzt genau reelle orthogonale Eigenvektoren.

Beispiel


Die Eigenwerte sind und
  Aus dem zugehörigen homogenen Gleichungssystem erhält man beliebig, beliebig, Man wählt und und erhält die beiden linear unabhängigen Eigenvektoren und wobei und beliebige Konstanten sind.
  Man erhält beliebig, wählt z.B.  und erhält den Eigenvektor wobei eine beliebige Konstante ist. Die Matrix ist symmetrisch, die zu den verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind orthogonal.

Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Es sei ein beliebiger -dimensionaler EUKLIDischer Vektorraum. Die Vektoren seien linear unabhängig. Dann existiert ein Orthogonalsystem von Vektoren , das auf folgende Weise konstruiert werden kann:
(4.127)

Hinweise:
1. Mit wird das Skalarprodukt der Vektoren und bezeichnet.
2. Zu dem Orthogonalsystem der Vektoren erhält man das Orthonormalsystem durch wobei mit die EUKLIDische Norm des Vektors bezeichnet wird.
Beispiel

. Daraus folgt:
und ;  und ;
und .