Lösung von Differentialgleichungen

Lösung von Differentialgleichungen

Mit Mathematica können gewöhnliche Differentialgleichungen symbolisch behandelt werden, wenn eine Lösung in geschlossener Form prinzipiell möglich ist. In diesem Fall liefert Mathematica in der Regel die Lösung. Die hierfür zutreffenden Befehle sind in der folgenden Tabelle aufgelistet.

Tabelle Anweisungen zur Lösung von Differentialgleichungen

	löst eine evtl. implizite Darstellung der Lösung der Differentialgleichung nach auf (falls möglich)
	liefert die Lösung der Differentialgleichung in Form einer reinen Funktion
	löst ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen

Die Lösungen werden (s. Unterkapitel Gewöhnliche Differentialgleichungen) mit den entsprechenden willkürlichen Konstanten

als allgemeine Lösungen dargestellt. Anfangswerte oder Randbedingungen können in den Teil der Liste, der die Gleichung bzw. Gleichungen enthält, mit eingefügt werden. In diesem Falle erhält man eine spezielle Lösung.

Als Beispiele sollen hier zwei Differentialgleichungen aus Abschnitt Wichtige Integrationsmethoden im Unterkapitel Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung betrachtet werden.

Beispiel A

Es ist die Lösung der Differentialgleichung zu bestimmen.

Mathematica löst diese Gleichung und gibt die Lösung als reine Funktion mit einer Integrationskonstanten wieder

Das Symbol steht für #, es ist dessen FullForm.
Verlangt man, daß die Lösung für bestimmt wird, dann liefert Mathematica

Man hätte in diesem Beispiel die Substitution auch für andere Größen, wie etwa oder durchführen können. Hier wird der Vorteil der Benutzung reiner Funktionen deutlich.

Beispiel B

Es ist die Lösung der Differentialgleichung zu bestimmen.

Mathematica gibt die Eingabe ohne Kommentar zurück. Das liegt daran, daß Mathematica die Lösung der Differentialgleichung, die im Beispiel in impliziter Form angegeben ist, nicht nach auflösen kann.

In solchen Fällen kann man nach numerischen Lösungen suchen. Auch im Falle der symbolischen Lösung von Differentialgleichungen darf man wie bei der Berechnung unbestimmter Integrale Mathematica nicht überfordern. Wenn die Resultate nicht als algebraischer Ausdruck elementarer Funktionen darstellbar sind, bleibt nur der Weg, numerische Lösungen zu suchen.

Es sei hier darauf hingewiesen, daß mit der Version Mathematica 2.2 auch ein Spezialpaket enthalten ist, das partielle Differentialgleichungen mit partiellen ersten Ableitungen einer einzelnen gesuchten Funktion lösen kann.

Beispiel B
	Es ist die Lösung der Differentialgleichung zu bestimmen. Mathematica gibt die Eingabe ohne Kommentar zurück. Das liegt daran, daß Mathematica die Lösung der Differentialgleichung, die im Beispiel in impliziter Form angegeben ist, nicht nach auflösen kann.