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Gauß-Newton-Verfahren

Einen anderen Lösungsweg, der bei praktischen Aufgaben in der Regel gegangen wird, vermittelt das GAUSS-NEWTON-Verfahren, das zur Lösung der nichtlinearen Quadratmittelaufgabe (19.24) beschrieben worden ist. Die Übertragung auf die jetzt vorliegende nichtlineare Approximationsaufgabe (19.186) erfordert die folgenden Schritte:
1. Linearisierung der Ansatzfunktion nach TAYLOR bezüglich der Parameter . Dazu müssen Näherungswerte bekannt sein:
(19.187)


2. Lösung der linearen Ausgleichsaufgabe

(19.188)

mit Hilfe des Normalgleichungssystems

(19.189)

oder nach dem HOUSEHOLDER-Verfahren. In (19.189) sind die Komponenten der Vektoren und durch
(19.190a)
(19.190b)

gegeben. Die Matrix wird analog zu in (19.179b) gebildet, indem man durch
ersetzt.
3. Berechnung einer neuen Näherung durch

(19.191)

wobei ein Schrittweitenparameter ist.
Durch Wiederholung der Schritte 2 und 3 mit an Stelle von usw. erhält man für die gesuchten Parameter Folgen von Näherungswerten, deren Konvergenz sehr stark von der Güte der Startnäherung abhängt. Mit Hilfe des Schrittweitenparameters läßt sich aber zunächst eine Verkleinerung der Fehlerquadratsumme erzielen.