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Ableitungsfreies Gauß-Newton-Verfahren

Zur Lösung der Quadratmittelaufgabe (19.24) geht man im nichtlinearen Fall ( nichtlineare Ausgleichsaufgabe ) iterativ wie folgt vor:
1. Ausgehend von geeigneten Startnäherungen approximiert man wie beim NEWTON-Verfahren (dort gemäß (19.61)), die nichtlinearen Funktionen durch lineare Näherungen , die in jedem Iterationsschritt gemäß
(19.65)
     

berechnet werden.
2. Man setzt in (19.65) und ermittelt die Verbesserungen nach der GAUSSschen Fehlerquadratmethode, d.h. durch Lösung der linearen Quadratmittelaufgabe
(19.66)

z.B. mit Hilfe der Normalgleichungen (19.42), oder des HOUSEHOLDER-Verfahrens.
3. Man erhält Näherungen für die gesuchte Lösung durch

(19.67a)
(19.67b)

wobei ein Schrittweitenparameter wie beim NEWTON-Verfahren ist.
Durch Wiederholung der Schritte 2 und 3 mit an Stelle von erhält man das GAUSS-NEWTON- Verfahren . Es liefert eine Folge von Näherungswerten, deren Konvergenz sehr stark von der Güte der Startnäherungen abhängt. Mit Hilfe des Schrittweitenparameters läßt sich jedoch ein sogenannter Abstieg , d.h. eine Verkleinerung der Fehlerquadratsumme, erzielen.

Wenn die Berechnung der partiellen Ableitungen


mit großem Aufwand verbunden ist, kann man die partiellen Ableitungen durch Differenzenquotienten sehr einfach approximieren:
     
    (19.68)

Die sogenannten Diskretisierungsschrittweiten können in Abhängigkeit von Iterationsschritt und Variablen speziell gewählt werden.
Verwendet man die Näherungen (19.68), dann müssen bei der Durchführung des GAUSS-NEWTON-Verfahrens nur Funktionswerte berechnet werden, d.h., das Verfahren ist dann ableitungsfrei .