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,
wobei
wieder als Halbachsenlängen eines aus der Einheitskugel mit Mittelpunkt
durch Deformation mit 
hervorgegangenen Ellipsoids interpretiert werden
können, kann zur Berechnung der LYAPUNOV-Exponenten benutzt werden, wenn
außerdem noch Reorthonormalisierungsverfahren, wie das von HOUSHOLDER,
herangezogen werden.
Die Funktion 
ist Lösung der zum Semiorbit 
des Flusses 
gehörigen Variationsgleichung mit Anfang 
zur Zeit
.
In der Tat, ist 
der Fluß von (17.1), so lautet
die Variationsgleichung 
.
Die Lösung dieser Gleichung mit Anfang
zur Zeit 
ist darstellbar als
,
wobei 
die bei
normierte
Fundamentalmatrix der Variationsgleichung ist, die, nach dem Satz über die
Differenzierbarkeit nach den Anfangszuständen, Lösung der
Matrix-Differentialgleichung 
mit Anfang 
ist.
beschreibt das Verhalten der Orbits 
,
mit Anfang 
bezüglich des Ausgangsorbits 
in der Richtung
.
Ist 
,
so heißt dies, daß in Richtung
für wachsende 
eine Annäherung der Orbits stattfindet; ist dagegen 
,
so entfernen
sich die Orbits (s. Abbildung).
mit dem Attraktor 
und dem dort konzentrierten invarianten Maß 
gilt
für -fast alle 
im Falle eines Flusses von (17.1)
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(17.39a) |
 |
(17.39b) |
.
Dies, zusammen mit der Tatsache, daß für Flüsse einer der
LYAPUNOV-Exponenten Null ist, falls der Attraktor keine Ruhelage ist, gestattet
Vereinfachungen bei der Berechnung der LYAPUNOV-Exponenten
(s. Lit. 17.16).
| Beispiel A | |
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Sei | |
| Beispiel B | |
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Sei | |
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eine Ruhelage des Flusses von (
die
Eigenwerte der JACOBI-Matrix in 
.
Mit dem in 
.
ein 
-periodischer Orbit
von (
die Multiplikatoren von
.
Mit dem in 
konzentrierten Maß gilt
