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ein kleiner Parameter ist.
Für 
sei (17.75) ein
HAMILTON-System, d.h. für 
gelte
und
,
wobei
eine 
-Funktion sei.
Das zeitabhängige Vektorfeld 
sei zweimal stetig
differenzierbar und 
-periodisch bezüglich des ersten Arguments.
Außerdem seien 
und 
beschränkt auf beschränkten Mengen.
Bei
existiere in (17.75) ein
homokliner Orbit bezüglich des Sattelpunktes 
.
Der POINCARÉ-Schnitt 
von
(17.75) im Phasenraum 
bei 
sehe aus wie
in der folgenden Abbildung.
hat für kleine
einen Sattel 
nahe 
mit den invarianten
Mannigfaltigkeiten 
und 
.
Ist der homokline Orbit des ungestörten Systems durch 
gegeben, so
läßt sich der Abstand der Mannigfaltigkeiten
und
,
gemessen entlang der Geraden, die durch 
verläuft
und senkrecht auf 
steht, durch die Formel
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(17.76a) |
die MELNIKOV- Funktion , die durch
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(17.76b) |
und 
ist 
.
Besitzt die MELNIKOV-Funktion 
in 
eine einfache Nullstelle, d.h., gilt
und 
,
dann schneiden sich die Mannigfaltigkeiten
und 
für genügend kleine 
transversal.
Wenn
keine Nullstellen besitzt, gilt
,
d.h., es gibt keine
homoklinen Punkte.
Bemerkung: Das ungestörte System (17.75) besitze einen heteroklinen Orbit,
gegeben durch 
,
der aus einem Sattel 
in einen Sattel 
läuft.
Seien 
und 
die Sattel der POINCARE-Abbildung
für kleine 
.
Besitzt 
,
berechnet wie oben, in
eine einfache Nullstelle, so schneiden sich
und 
für kleine
transversal.
| Beispiel | |
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Betrachtet wird die periodisch gestörte Pendelgleichung
ein kleiner Parameter und 
ein weiterer Parameter ist.
Das ungestörte System
 .
Das ungestörte System besitzt (u.a.) ein Paar heterokliner Orbits durch 
und
 .
Im zylindrischen Phasenraum 
sind dies homokline Orbits, gegeben durch
bei 
eine einfache Nullstelle besitzt, hat die POINCARÉ-Abbildung
des gestörten Systems für kleine
transversale homokline Punkte.
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,
d.h. das System