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Abspaltung eines Torus

Gegeben sei (17.53) mit und . Für alle nahe habe (17.53) einen periodischen Orbit . Die Multiplikatoren von seien mit mit und .

Nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit ergibt sich in der vorliegenden Situation eine zweidimensionale reduzierte -Abbildung

(17.71)

mit für nahe .

Hat die JACOBI-Matrix für alle nahe die konjugiert komplexen Eigenwerte und mit , ist und ist für keine -te Wurzel aus , so läßt sich (17.61) durch eine glatte -abhängige Koordinatentransformation auf die Form bringen ( LANDAU-Symbol), wobei in Polarkoordinaten durch

(17.72)

gegeben ist. Dabei sind und differenzierbare Funktionen. Sei . Dann ist die Ruhelage von (17.72) für alle asymptotisch stabil und für instabil. Außerdem existiert bei der Kreis , der invariant unter der Abbildung (17.72) und asymptotisch stabil ist (s. linke Abbildung).



Satz von Neimark und Sacker:  Der Satz von NEIMARK und SACKER (s. Lit. 17.18, 17.3) sagt aus, daß das Bifurkationsverhalten von (17.72) auch auf zutrifft ( superkritische HOPF- Bifurkation für Abbildungen ).

Beispiel

In der Abbildung (17.71), gegeben durch


findet bei eine superkritische HOPF-Bifurkation statt.

Bezogen auf die Differentialgleichung (17.53) bedeutet die Existenz einer geschlossenen invarianten Kurve der Abbildung (17.71), daß bei der periodische Orbit instabil wird und sich bei ein bezüglich (17.53) invarianter stabiler Torus abspaltet (s. Abbildung).