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konvergiert stets, und zwar
zur Projektion des Elements 
auf den Teilraum
.
Hat ein Element
die Darstellung 
,
dann
sind 
die FOURIER-Koeffizienten von 
.
Ist 
eine beliebige Zahlenfolge mit der Eigenschaft
,
dann existiert in 
genau ein Element
,
dessen FOURIER-Koeffizienten gerade die Zahlen
sind und für
das die Abgeschlossenheitsrelation oder
PARSEVALsche Gleichung
Ein orthonormales System 
in
heißt vollständig, wenn es keinen
vom Nullvektor verschiedenen Vektor 
gibt, der zu allen Vektoren 
orthogonal ist;
es heißt Basis , wenn jeder Vektor
als
dargestellt werden kann, d.h. 
,
und
ist gleich der Summe seiner FOURIER-Reihe.
In letzterem Falle sagt man auch,
hat eine FOURIER-Entwicklung.
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
a)
ist eine fundamentale Menge in 
.
b)
ist vollständig in .
c)
ist eine Basis in .
d) Für 
mit den entsprechenden
FOURIER-Koeffizienten 
gilt
gilt die PARSEVALsche Gleichung
(12.126).
| Beispiel A | |
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Das trigonometrische System (12.117) ist eine Basis im Raum
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| Beispiel B | |
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Das System der normierten LEGENDREschen Polynome (12.120)
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