Ein vollständiger unitärer Raum heißt HILBERT-Raum .
Als normierte Räume und BANACH-Räume besitzen die
HILBERT-Räume auch deren Eigenschaften.
Hinzu kommen noch die eines unitären Raumes.
Unter einem Teilraum eines HILBERT-Raumes versteht man einen abgeschlossenen
linearen Teilraum.
Beispiel A
und
mit den Skalarprodukten
(12.109)
Beispiel B
Der Raum
mit dem Skalarprodukt
(12.110)
Beispiel C
Sei
eine auf
meßbare und positive Funktion.
Der komplexe Raum
aller meßbaren Funktionen, die auf
mit
dem Gewicht
quadratisch summierbar sind, wird ein HILBERT-Raum,
wenn das Skalarprodukt
und 
mit den Skalarprodukten
mit dem Skalarprodukt
eine auf 
meßbare und positive Funktion.
Der komplexe Raum 
aller meßbaren Funktionen, die auf 
quadratisch summierbar sind, wird ein HILBERT-Raum,
wenn das Skalarprodukt
