Existenz einer Lösung, Lipschitz-Bedingung
1. Nach dem Existenzsatz von CAUCHY existiert für die
Differentialgleichung
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(9.2) |
wenigstens eine Lösung, die an der Stelle 
den Wert 
annimmt und in einem
gewissen Intervall um 
definiert und stetig ist, wenn die Funktion 
in einer
Umgebung 
des Punktes 
,
die durch 
und 
festgelegt ist, stetig ist.
2. Lipschitz-Bedingung bezüglich 
nennt man
die Forderung
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(9.3) |
für alle 
aus 
,
wobei 
nicht von 
und
abhängen darf.
Ist sie erfüllt, dann ist die Lösung von (9.2) eindeutig und eine stetige
Funktion von 
.
Die Erfüllung der LIPSCHITZ-Bedingung ist stets dann gegeben, wenn
in
dem betrachteten Gebiet eine beschränkte partielle Ableitung 
besitzt.
Im Abschnitt Singuläre Integrale und singuläre Punkte sind Fälle
angeführt, in denen die Voraussetzungen des CAUCHYschen Existenzsatzes nicht
erfüllt sind.
