Sei
ein metrischer Raum.
Die Folge
mit
heißt
CAUCHY- Folge , fundamentale Folge oder manchmal auch noch
konvergent in sich , wenn es für
einen Index
gibt, so daß
die Ungleichung
(12.54)
gilt.
Jede CAUCHY-Folge ist eine beschränkte Menge.
Weiter gilt, daß jede konvergente Folge eine CAUCHY-Folge ist.
Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht, wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel
Betrachtet man im Raum
die Metrik (12.44) des Raumes
sowie
die offensichtlich für alle
in
liegenden Elemente
dann ist die Folge
eine CAUCHY-Folge in diesem Raum.
Würde die Folge
konvergieren, dann müßte sie auch
koordinatenweise, und zwar zu dem Element
,
konvergieren.
Die harmonische Reihe
liegt aber wegen
nicht in .
ein metrischer Raum.
Die Folge 
mit 
heißt
CAUCHY- Folge , fundamentale Folge oder manchmal auch noch
konvergent in sich , wenn es für 
einen Index
gibt, so daß 
die Ungleichung
die Metrik (
sowie
die offensichtlich für alle 
in 
dann ist die Folge
eine CAUCHY-Folge in diesem Raum.
konvergieren, dann müßte sie auch
koordinatenweise, und zwar zu dem Element
,
konvergieren.
Die 
liegt aber wegen
nicht in 
.