Ein metrischer Raum heißt vollständig , wenn in ihm jede CAUCHY-Folge
konvergiert.
Die vollständigen metrischen Räume sind also gerade diejenigen, in denen das von den
reellen Zahlen her bekannte CAUCHYsche Prinzip gilt:
Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine CAUCHY-Folge ist.
Jeder abgeschlossene Teilraum eines vollständigen metrischen Raumes ist
(als selbständiger metrischer Raum aufgefaßt) vollständig.
In gewisser Weise gilt die Umkehrung:
Ist ein Teilraum
eines (nicht notwendigerweise vollständigen) metrischen Raumes
vollständig, so ist die Menge
in
abgeschlossen.
Beispiel
Beispiele vollständiger metrischer Räume sind
,
, ,
, .
eines (nicht notwendigerweise vollständigen) metrischen Raumes
vollständig, so ist die Menge 
,
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, 
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