|
|
|
|
aus dem Intervall 
.
Numerische Lösungsansätze bestehen darin, das Integral durch eine Quadraturformel zu
approximieren:
abhängig.
Das wird durch den Index 
von 
zum
Ausdruck gebracht.
Man erhält als Näherungsausdruck für (11.71)
ist eine Näherung für die Lösung von
(11.71).
Die Anzahl und Lage der Stützstellen der Quadraturformel ist von
abhängig,
wodurch deren Wahl stark eingeschränkt ist.
Ist 
eine Stützstelle von 
,
so
müssen 
und insbesondere
bekannt sein.
Dies erfordert aber zuvor eine Auswertung der rechten Seite von (11.72b) für
,
was einer Quadratur über dem Intervall 
entspricht.
Aus diesem Grund ist die Verwendung der häufig bevorzugten GAUSSschen
Quadraturformeln nicht möglich.
Man löst das Problem durch die Wahl von Stützstellen
und verwendet Quadraturformeln 
mit Stützstellen 
.
Die Funktionswerte in den Stützstellen werden abkürzend bezeichnet durch
Für 
erhält man
(vgl. Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen)
die Stützstellen 
und 
und folglich die Gestalt
und 
.
Setzt man dieses Verfahren fort, kann man die 
nacheinander aus der allgemeinen
Beziehung
haben folgende Form:
Hinweis: Mit der angeführten Methode können auch nichtlineare
Integralgleichungen näherungsweise gelöst werden.
In diesem Fall wird bei Anwendung der Trapezformel zur Bestimmung der
jedesmal die Lösung einer nichtlinearen Gleichung erforderlich sein.
Dies kann man umgehen, wenn man die Trapezformel nur auf das Intervall 
anwendet und das Intervall 
mit der linksseitigen Rechteckformel behandelt.
Ist 
genügend klein, wird dieser Quadraturfehler die Lösung nicht sehr
beeinflussen.
|
|
zugrunde gelegt, d.h. 
.
