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Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem

Es soll ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung der FOURIER-Koeffizienten der Lösungsfunktion bezüglich eines Orthonormalsystems aufgestellt werden. Dazu wird ein vollständiges Orthonormalsystem mit gewählt. Ein entsprechendes vollständiges Orthonormalsystem möge auch für das Intervall vorliegen. Bezüglich des Systems besitzt die Funktion die FOURIER-Reihe
(11.46a)

Die Multiplikation der Integralgleichung (11.41) mit und die anschließende Integration bezüglich in den Grenzen von bis liefert:
 
  (11.46b)

Der Ausdruck in der geschweiften Klammer ist eine Funktion von und möge die FOURIER-Darstellung
(11.46c)
 

besitzen. Mit dem FOURIER-Reihenansatz
(11.46d)

erhält man
 
  (11.46e)

Auf Grund der Orthonormaleigenschaft (11.44b) ergibt sich das lineare Gleichungssystem
(11.46f)

Das ist ein System mit unendlich vielen Gleichungen zur Bestimmung der FOURIER-Koeffizienten . Die Koeffizientenmatrix
(11.46g)

wird als Kernmatrix bezeichnet. Die Zahlen und sind bekannte Größen, aber von der Wahl der Orthonormalsysteme abhängig.

Beispiel

.
Das Integral ist dabei im Sinne des CAUCHYschen Hauptwertes zu verstehen. Als vollständige Orthogonalsysteme verwendet man:
1. .
2. .
Nach (11.46c) ergibt sich für die Koeffizienten der Kernmatrix
,
.
Für das innere Integral gilt die Beziehung

(11.47)

Daraus folgt
(11.48)

Die FOURIER-Koeffizienten von lauten gemäß (11.46a)
.
Das Gleichungssystem lautet

Auf Grund der ersten Gleichung besitzt das System nur dann eine Lösung, wenn gilt
.
Es ist dann , und .