Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen
Es werden zwei Aufgabenklassen betrachtet.
1.
:
Die Variationsaufgabe lautet:
 |
(10.30a) |
mit den Randbedingungen
 |
(10.30b) |
wobei die Zahlenwerte 
und 
sowie die Funktion 
gegeben sind.
Analog zur Verfahrensweise unter
EULERsche Differentialgleichung der Variationsrechnung
werden Vergleichsfunktionen 
mit
eingeführt, und man erhält die
EULERsche Differentialgleichung
 |
(10.31) |
als notwendige Bedingung für die Lösung des Variationsproblems (10.30a).
Die Differentialgleichung (10.31) stellt eine Differentialgleichung 4. Ordnung
dar.
Ihre allgemeine Lösung enthält 4 willkürliche Konstanten, die mit Hilfe der
Randbedingungen (10.30b) bestimmt werden können.
 |
(10.32a) |
mit gegebenen Konstanten 
und 
gilt
.
Daraus folgt 
,
und die EULERsche Differentialgleichung lautet:
 |
(10.32b) |
Das ist eine
lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
2.
:
In diesem allgemeinen Fall, bei dem das Funktional 
der Variationsaufgabe von den
Ableitungen der gesuchten Funktion 
bis zur Ordnung 
abhängen
soll, lautet die zugehörige EULERsche Differentialgleichung
 |
(10.33) |
deren Lösung Randbedingungen analog zu (10.30b) bis zur Ordnung 
erfüllen müssen.
