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Anzahl der Wurzeln einer Gleichung mit reellen Koeffizienten

Aus den Darlegungen im voranstehenden Abschnitt Komplexe Wurzeln folgt, daß jede Gleichung ungeraden Grades mindestens eine reelle Wurzel besitzt. Die Anzahl weiterer reeller Wurzeln der Gleichung (1.165a) zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen und wobei ist, kann folgendermaßen bestimmt werden:
a) Abspalten der mehrfachen Wurzeln: Zuerst werden die mehrfachen Wurzeln von abgespalten, so daß sich eine Gleichung ergibt, die alle Wurzeln, aber nur noch mit der Vielfachheit 1 enthält. Dazu kann, wie beim Fundamentalsatz der Algebra erläutert, verfahren werden. Praktischer ist es jedoch, gleich nach der STURMschen Methode mit der Bestimmung der STURMschen Kette (der STURMschen Funktionen ) zu beginnen. Wenn der letzte von Null verschiedene Rest keine Konstante ist, dann besitzt mehrfache Wurzeln, die abzuspalten sind. Auf jeden Fall ist danach eine Gleichung ohne Mehrfachwurzeln.
b) Bildung der Folge der Sturmschen Funktionen:
(1.170)

Hier ist die linke Seite der gegebenen Funktion, ist die erste Ableitung von , der Rest der Division von durch , aber genommen mit entgegengesetztem Vorzeichen, der ebenfalls mit entgegengesetztem Vorzeichen genommene Rest der Division von durch usw.; ist der letzte, aber konstante Rest. Zur Vereinfachung der Rechnung kann man die gefundenen Reste mit konstanten positiven Faktoren multiplizieren, ohne daß sich das Ergebnis ändert.
c) Theorem von Sturm: Wenn die Anzahl der Vorzeichenwechsel, d.h. die Anzahl der Übergänge von ,,`` nach ,,``  und umgekehrt in der Folge (1.170) für ist und die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge (1.170) für , dann ist die Differenz gleich der Anzahl der reellen Wurzeln der Gleichung im Intervall . Sind in der Zahlenfolge einige Zahlen gleich Null, dann werden diese bei der Abzählung der Vorzeichenwechsel ausgelassen.

Beispiel

Für die Gleichung ist die Anzahl der Wurzeln im Intervall zu bestimmen.
Die Berechnung der STURMschen Funktion ergibt:


Einsetzen von liefert die Folge mit zwei Wechseln, Einsetzen von liefert mit einem Wechsel, so daß d.h., zwischen und liegt eine Wurzel.


d) Descartessche Regel: Die Anzahl der positiven Wurzeln der Gleichung ist nicht größer als die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge des Polynoms und kann sich von dieser nur um eine gerade Zahl unterscheiden.

Beispiel

Was kann über die Wurzeln der Gleichung ausgesagt werden?
Die Koeffizienten der Gleichung haben nacheinander die Vorzeichen d.h., das Vorzeichen wechselt dreimal.
Die Gleichung besitzt in Übereinstimmung mit der Regel von DESCARTES entweder eine oder drei positive Wurzeln.
Da beim Ersetzen von durch die Wurzeln der Gleichung ihre Vorzeichen ändern, sich aber bei der Substitution von durch um verringern, kann gemäß der Regel von DESCARTES auch die Anzahl der negativen Wurzeln sowie die Anzahl der Wurzeln, die größer sind als , abgeschätzt werden.
Im vorliegenden Beispiel führt das Ersetzen von durch auf die Gleichung
d.h., die Gleichung besitzt eine negative Wurzel. Substituiert man durch dann ergibt sich d.h., alle positiven Wurzeln der Gleichung (eine oder drei) sind kleiner als .