Normalform

Normalform

Normalform nennt man den folgenden einfachen Fall eines Systems linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

(9.45a)

Das Aufsuchen der allgemeinen Lösung eines derartigen Systems erfordert zuerst die Lösung der charakteristischen Gleichung

(9.45b)

Zu jeder einfachen Wurzel

dieser Gleichung gehört ein System partikulärer Lösungen

(9.45c)

deren Koeffizienten

aus dem System homogener linearer Gleichungen

(9.45d)

zu bestimmen sind.
Da auf diese Weise gemäß Abschnitt Triviale Lösung und Fundamentalsystem nur die Verhältnisse

bestimmt werden können, ist in dem so gewonnenen System partikulärer Lösungen für jedes

eine willkürliche Konstante enthalten. Wenn alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung verschieden sind, enthält die Summe aller dieser partikulären Lösungen

voneinander unabhängige willkürliche Konstanten, so daß sich damit die allgemeine Lösung des Systems ergibt. Wenn irgendein

eine

-fache Wurzel der charakteristischen Gleichung ist, dann entspricht dieser Wurzel ein System partikulärer Lösungen der Form

(9.45e)

in dem die

Polynome sind, die maximal den Grad

haben können. Diese Ausdrücke werden mit unbestimmten Koeffizienten in das System von Differentialgleichungen eingesetzt. Danach erfolgt eine Division durch

, und die Koeffizienten gleicher Potenzen von

auf der linken und der rechten Seite werden gleichgesetzt. Dadurch entstehen lineare Gleichungen für die unbekannten Koeffizienten, von denen

frei wählbar sind. Die anderen Koeffizienten lassen sich durch diese ausdrücken. Auf diese Weise entsteht ein Lösungsanteil mit

beliebigen Konstanten. Der Grad der Polynome kann kleiner als

sein. Wenn speziell das System (9.45a) symmetrisch ist, d.h. wenn

gilt, dann reicht es aus, die

zu setzen. Für komplexe Wurzeln der charakteristischen Gleichung können die betreffenden Glieder der allgemeinen Lösung genau so auf eine reelle Form gebracht werden, wie es für den Fall einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gezeigt worden ist.

Beispiel

Für das System lautet die charakteristische Gleichung

Für die einfache Wurzel erhält man .
Daraus folgt . Für die mehrfache Wurzel erhält man . Einsetzen in die Gleichungen liefert

woraus folgt .
Die allgemeine Lösung lautet somit:
.

Beispiel
	Für das System lautet die charakteristische Gleichung Für die einfache Wurzel erhält man . Daraus folgt . Für die mehrfache Wurzel erhält man . Einsetzen in die Gleichungen liefert woraus folgt . Die allgemeine Lösung lautet somit: .