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,
d.h.
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(9.41a) |
der sogenannten
charakteristischen Gleichung
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(9.41b) |
liefert eine Lösung 
der Gleichung 
.
Tritt eine Wurzel
mit der Vielfachheit 
auf, dann sind 
ebenfalls Lösungen.
Die Linearkombination dieser aller Lösungen ergibt die allgemeine Lösung der
homogenen Differentialgleichung:
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(9.41c) |
reell sind, können komplexe Wurzeln der charakteristischen
Gleichung nur paarweise konjugiert komplex auftreten.
In diesem Falle sind z.B. für 
und
in den betreffenden Gliedern der allgemeinen Lösungen
die Funktionen 
und 
durch 
und
zu ersetzen.
Die dabei entstehenden Ausdrücke der Form 
können
auch in der Form 
mit den Konstanten 
und 
dargestellt werden.
| Beispiel | |
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Zur Differentialgleichung 
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gehört die charakteristische
Gleichung 
mit den Wurzeln
.
Die allgemeine Lösung kann in zwei Formen angegeben werden: