Inhomogene Bedingungen und inhomogene Differentialgleichungen
Die Lösung homogener oder inhomogener linearer partieller Differentialgleichungen bei
inhomogenen Anfangs- oder Randbedingungen kann auf die Lösung einer Gleichung
zurückgeführt werden, die sich von der gegebenen lediglich durch das die unbekannte
Funktion nicht mehr enthaltende freie Glied unterscheidet, jetzt aber bei homogenen
Bedingungen.
Dazu reicht es aus, die zu bestimmende Funktion durch eine Differenz zwischen ihr und
einer beliebigen, zweimal differenzierbaren Funktion zu ersetzen, die die gegebenen
inhomogenen Bedingungen erfüllt.
Generell wird von der Erkenntnis Gebrauch gemacht, daß sich die Lösung einer
linearen inhomogenen partiellen Differentialgleichung bei gegebenen inhomogenen Anfangs-
oder Randbedingungen als Summe der Lösung der gleichen Differentialgleichung bei
Nullbedingungen und der Lösung der entsprechenden homogenen Differentialgleichung bei
den gegebenen Bedingungen darstellen läßt.
Zur Zurückführung der Lösung der linearen inhomogenen partiellen
Differentialgleichung
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(9.101a) |
bei den homogenen Anfangsbedingungen
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(9.101b) |
auf die Lösung des CAUCHYschen Problems für die zugehörige homogene
Differentialgleichung wird
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(9.101c) |
gesetzt.
Dabei ist 
die Lösung der Differentialgleichung
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(9.101d) |
die den Randbedingungen
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(9.101e) |
genügt.
In diesen Gleichungen steht 
symbolisch für die Gesamtheit der 
Variablen
des -dimensionalen Problems.
Mit 
wird dabei ein linearer Differentialausdruck bezeichnet, der die Ableitung
enthalten darf, nicht aber höhere Ableitungen nach 
.
