Anfangs- und Randbedingungen
Die Lösung physikalischer, technischer und naturwissenschaftlicher Probleme erfordert
gewöhnlich die Erfüllung zweier grundsätzlicher Anforderungen:
1. Die gesuchte Lösung hat nicht nur der Differentialgleichung zu genügen,
sondern zusätzlich noch Anfangs- bzw. Randbedingungen.
Dabei können Probleme auftreten, bei denen nur Anfangsbedingungen, nur Randbedingungen
oder sowohl Anfangs- als auch Randbedingungen vorgegeben sind.
Die Gesamtheit aller Bedingungen muß die Lösung der Differentialgleichung
eindeutig festlegen.
2. Die gesuchte Lösung muß gegenüber kleinen Änderungen der Anfangs- und
Randbedingungen stabil sein, d.h. sich beliebig wenig ändern, wenn die Änderungen
dieser Bedingungen, oft auch Störungen genannt, hinreichend klein sind.
Man sagt dann, daß eine korrekte Problemstellung
vorliegt.
Erst wenn diese Bedingungen erfüllt sind, kann davon ausgegangen werden, daß das
mathematische Modell des gegebenen Problems zur Beschreibung realer Erscheinungen geeignet
ist.
Bei den Differentialgleichungen des hyperbolischen Typs, auf die besonders Untersuchungen
von Schwingungsvorgängen in kontinuierlichen Medien führen, ist z.B. das
CAUCHYsche Problem korrekt gestellt.
Dies bedeutet, daß auf einer Anfangsmannigfaltigkeit, d.h. auf einer Kurve oder
Fläche, Werte der zu bestimmenden Funktion sowie ihrer Ableitungen in einer
nichttangentialen, besonders der Normalenrichtung gegeben sind.
Bei den Differentialgleichungen des elliptischen Typs, auf die besonders Untersuchungen
von stationären Vorgängen und von Gleichgewichtsproblemen in kontinuierlichen Medien
führen, ist die Stellung des Randwertproblems, d.h. die Vorgabe der Werte der zu
bestimmenden Funktion auf dem Rande des betrachteten Variabilitätsgebiets der
unabhängigen Variablen, korrekt.
Wenn das betrachtete Gebiet unbegrenzt ist, dann müssen von der zu bestimmenden
Funktion geeignete Verhaltenseigenschaften beim unbegrenzten Wachstum der unabhängigen
Variablen gefordert werden.
