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Hinreichende Konvergenzkriterien

Wenn sich die unmittelbare Berechnung der Grenzwerte (8.77), (8.78a) und (8.78b) schwierig gestaltet oder wenn lediglich nach der Konvergenz oder Divergenz eines uneigentlichen Integrals gefragt ist, dann kann eines der folgenden hinreichenden Kriterien benutzt werden. Hier wird lediglich das Integral (8.77) betrachtet. Das Integral (8.78a) kann durch Substitution von durch auf das Integral vom Typ (8.77) zurückgeführt werden:
(8.79)

Das Integral vom Typ (8.78b) wird in eine Summe aus zwei Integralen vom Typ (8.77) und vom Typ (8.78a) zerlegt:

(8.80)

wobei eine beliebige Zahl ist.
1. Kriterium: Wenn das Integral

(8.81)

existiert, dann existiert auch das Integral (8.77). Das Integral (8.77) heißt in diesem Falle absolut konvergent und die Funktion absolut integrierbar auf der Halbachse .
2. Kriterium: Gilt für die Funktionen und

(8.82a)

dann darf von der Konvergenz des Integrals
(8.82b)

auf die Konvergenz des Integrals
(8.82c)

geschlossen werden und umgekehrt von der Divergenz des Integrals (8.82c) auf die Divergenz des Integrals (8.82b).
3. Kriterium: Setzt man für in (8.82b)
(8.83a)

und berücksichtigt man, daß das folgende Integral für gegen den angegebenen Wert konvergiert,
(8.83b)

während es für divergiert, dann kann aus dem 2. Konvergenzkriterium ein weiteres hergeleitet werden:
Wenn in eine positive Funktion ist und wenn eine Zahl existiert, so daß für hinreichend große
(8.83c)

gilt, dann konvergiert das Integral (8.77). Wenn allerdings positiv ist und eine Zahl existiert, so daß

(8.83d)

von einer gewissen Stelle an gilt, dann divergiert das Integral (8.77).

Beispiel

. Setzt man , dann ergibt sich . Das Integral ist divergent.