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(8.138) |
definiert.
Das Flächenstück wird durch die Koordinatenlinien 
= const und 
= const in
infinitesimale Flächenelemente eingeteilt (s. Abbildung) und der Integrand in den
Koordinaten
und
ausgedrückt.
= const,
danach über alle Streifen:
bzw. 
die Gleichungen der inneren bzw. äußeren
Randkurve 
und 
der Fläche 
.
Mit 
und 
werden die Koordinaten der beiden äußersten Linienbegrenzungen
der Fläche 
beschrieben.
Mit 
ist der Absolutbetrag der Funktionaldeterminante
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(8.140a) |
bezeichnet, mit deren Hilfe das Flächenelement in krummlinigen Koordinaten beschrieben wird:
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(8.140b) |
Die Formel (8.137b) ist ein Spezialfall von Formel
(8.139) für die Polarkoordinaten
.
Die Funktionaldeterminate ergibt sich hier zu 
.
Man wählt die krummlinigen Koordinaten derart, daß die Integrationsgrenzen des
Integrals (8.139) möglichst einfach werden.
| Beispiel | |
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Zuerst werden die krummlinigen Koordinaten 
eingeführt, deren Koordinatenlinien 
eine Schar ähnlicher Astroiden mit den
Gleichungen 
und 
darstellen.
Die Koordinatenlinien 
sind dann Strahlen mit der Gleichung 
,
wobei
gilt.
Damit ergibt sich
,
.
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ist für den Fall zu berechnen, daß 
(s. Abbildung).
