Die Bedingung für die Unabhängigkeit des Kurvenintegrals
(8.128)
vom Integrationsweg (s. Abbildung) lautet in Analogie zum zweidimensionalen Fall:
1. Es wird die Existenz einer Stammfunktion
gefordert, für die
gilt
(8.129a)
und damit
(8.129b)
2. Die Integrabilitätsbedingung besteht in diesem Falle aus den drei
gleichzeitig zu erfüllenden Gleichungen
(8.129c)
für die partiellen Ableitungen, die ihrerseits stetig sein müssen.
Beispiel
Die Arbeit
ist als Skalarprodukt aus Kraft
und
Weg
definiert.
Im konservativen Feld hängt die Arbeit nur vom Ort
ab, nicht aber von der Geschwindigkeit .
Mit
grad
und
sind somit für das Potential
die Beziehungen (8.129a), (8.129b)
erfüllt, und es gilt (8.129c).
Unabhängig vom Weg zwischen den Punkten
und
erhält man:
gefordert, für die
gilt
ist als Skalarprodukt aus Kraft 
und
Weg 
definiert.
Im 
ab, nicht aber von der Geschwindigkeit 
.
Mit 
grad
und
sind somit für das Potential 
die Beziehungen (
und 
erhält man:
