Drehgruppe SO(3)
Gemäß (5.145) spannen die Komponenten des Bahndrehimpulsoperators
die LIE-Algebra 
der Drehgruppe 
auf, so daß sich eine
Funktion 
bei infinitesimalen Drehungen mit dem Winkel 
um
die 
-Achse gemäß
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(5.162) |
transformiert.
Da alle infinitesimalen Generatoren nicht untereinander kommutieren,
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(5.163) |
erhält man für den Rang von
den Wert 
,
d.h., in
kann eine Basis so gewählt werden, daß höchstens einer der drei
Generatoren durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird.
Als Standardbasis wird im allgemeinen
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(5.164) |
eingeführt, wobei 
die Leiteroperatoren sind.
Nach dieser Basistransformation
gelten für die
Elemente der neuen Basis
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(5.165a) |
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(5.165b) |
Der Raum, in dem die Wurzeln und Gewichte der LIE-Algebra
dargestellt
werden können, ist eindimensional 
.
Gemäß (5.165a) besteht das System der Wurzelvektoren aus
.
Die Gewichte 
der inäquivalenten irreduziblen Darstellungen von
(und damit von )
sind ganzzahlig und unterscheiden sich um 
.
Das höchste Gewicht einer irreduziblen Darstellung von
sei
,
der zugehörige Eigenvektor wird mit
bezeichnet.
Die Eigenvektoren zu möglichen anderen Gewichten erhält man durch sukzessive
Anwendung des Leiteroperators 
auf
bis der Eigenvektor zu
erreicht ist 
.
In jedem Schritt wird das Gewicht gemäß (5.161) reduziert von
auf 
.
Das Gewichtsdiagramm einer irreduziblen Darstellung 
von
mit dem
höchsten Gewicht 
besteht also aus allen Punkten
auf der Zahlengeraden (s. obige Abbildung).
Die Darstellung ist damit 
-dimensional.
Die Basisvektoren im Darstellungsraum sind die Eigenfunktionen 
des
Operators 
der -Komponente des Bahndrehimpulses zum Eigenwert 
,
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(5.166) |
so daß die Gewichte
der irreduziblen Darstellung von
physikalisch die
möglichen Meßwerte für die Projektion des Bahndrehimpulses 
auf
die Quantisierungsachse (-Achse) bedeuten (Richtungsquantelung).
Da der CASIMIR-Operator 
mit allen Generatoren kommutiert,
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(5.167) |
sind die Funktionen
auch Eigenfunktionen zum Quadrat des
Drehimpulsoperators.
Die Eigenwerte sind 
:
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(5.168) |
Die Zahl 
,
die die irreduzible Darstellung von
spezifiziert, legt
also noch den Betrag 
des Drehimpulses
fest.
Bei endlichen dreidimensionalen Drehungen 
um die
EULERschen Winkel 
transformieren sich die Funktionen
untereinander gemäß
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(5.169) |
