Die Darstellung einer halbeinfachen LIE-Algebra in Standardbasis führt
im Darstellungsraum 
auf die 
-Matrizen
und
.
Da alle Matrizen 
untereinander kommutieren, können sie gleichzeitig
auf Diagonalform gebracht werden; sie besitzen 
linear unabhängige, simultane
Eigenvektoren 
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(5.157) |
Der Vektor
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(5.158) |
in einem 
-dimensionalen Raum wird als Gewicht des Eigenvektors
bezeichnet.
Die Matrixelemente der Diagonalmatrix
sind die 
-te Komponente der
Gewichtsvektoren 
,
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(5.159) |
Die Wurzeln 
einer LIE-Algebra und die Gewichte 
ihrer Darstellungen sind in einem Vektorraum gleicher Dimension erklärt.
Ein Gewicht heißt einfach, wenn keine Entartung vorliegt.
Von zwei Gewichten
und 
sagt man
ist größer
als ,
wenn in 
die
erste von Null verschiedene Komponente positiv ist.
Das größte Gewicht einer Darstellung wird auch als höchstes Gewicht bezeichnet.
Es gilt: Jede irreduzible Darstellung einer halbeinfachen LIE-Algebra wird
durch ihr höchstes Gewicht, das stets einfach ist, eindeutig charakterisiert.
Außerdem kann man zeigen:
Ist der Vektor 
vom Gewicht ,
dann ist der Vektor
vom Gewicht 
:
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(5.160) |
Mit Hilfe der Leiteroperatoren
lassen sich also --
ausgehend vom Vektor 
zum höchsten Gewicht
--
die Eigenvektoren zu allen anderen Gewichten sukzessive konstruieren:
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(5.161) |
