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und 
,
die den Drehimpulszustand
zweier Teilchen in einem sphärischen Potential beschreiben, transformieren sich
bei dreidimensionalen Drehungen nach den irreduziblen Darstellungen 
bzw. 
der Drehgruppe.
Die Basis 
im Produktraum transformiert sich
nach dem KRONECKER-Produkt 
.
Die möglichen Werte für den Gesamtdrehimpuls
des Zweiteilchensystems ergeben sich
durch Reduktion der Produktdarstellung nach der CLEBSCH-GORDAN-Reihe
(5.128):
.
.
Eine Transformation mit Hilfe der CLEBSCH-GORDAN-Koeffizienten
führt von dieser Basis, deren Elemente durch die
Drehimpuls-Quantenzahlen der Einteilchenzustände 
spezifiziert werden, zu der, den invarianten Unterräumen angepaßten
Basis 
mit Elementen, die durch die Quantenzahl 
des
Gesamtdrehimpulses und seine Projektion 
auf
die Quantisierungsachse charakterisiert werden:
| Beispiel | |
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Für das Wertepaar | |
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ergeben sich in der
CLEBSCH-GORDAN-Reihe irreduzible Bestandteile 
,
die bei
einer Vektorkopplung der Drehimpulse 
auf
Gesamtdrehimpulse 
führen:
