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ist ein Operator, der mit allen Generatoren
und deshalb auch mit allen Elementen der LIE-Algebra kommutiert.
Er ist eine quadratische Form in den Generatoren.
| Beispiel | |||
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Die Generatoren
d.h. die von Null verschiedenen Strukturkonstanten der LIE-Algebra 
sind  .
Der CASIMIR-Operator
von  ,
der mit allen Elementen der
LIE-Algebra kommutiert, ist gegeben durch
 .
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Hinweis: Die Elemente der LIE-Algebra können geometrisch als
Tangentialvektoren 
aller Kurven
in 
durch das
neutrale Element 
aufgefaßt werden.
Sind 
und
die Tangentialvektoren zweier Kurven
und 
dann ist der Kommutator
als Tangentialvektor der Kurve
definiert.
Mit der Einführung der LIE-Algebra wird die Untersuchung einer globalen
LIE-Gruppe auf die Untersuchung ihrer lokalen Struktur in der Umgebung des
neutralen Elements zurückgeführt, wobei Methoden der Analysis angewandt werden
können.
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(s. (
bilden eine Basis der reellen LIE-Algebra 
.
Wegen 
besteht die LIE-Algebra 
-Matrizen,
.
Zwischen den Generatoren gelten die Vertauschungsrelationen
