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Reduzible und irreduzible Darstellungen

Wenn der Darstellungsraum einen gegenüber den Gruppenoperationen invarianten Unterraum besitzt, dann können die Darstellungsmatrizen durch eine geeignete Basistransformation in auf die Form
(5.125)

gebracht werden. und sind selbst Matrixdarstellungen von mit den Dimensionen bzw. .
Existiert in kein echter invarianter Unterraum, dann nennt man die Darstellung irreduzibel . Die Anzahl der inäquivalenten irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe ist endlich. Läßt sich eine Basistransformation finden, die in eine direkte Summe von invarianten Teilräumen überführt, d.h.
(5.126)

dann geht die Darstellungsmatrix für jedes nach einer Ähnlichkeitstransformation mit in Block-Diagonalform ( in (5.125)) über:
(5.127)

Eine solche Darstellung heißt vollständig reduzibel .
Hinweis: Bei naturwissenschaftlichen Anwendungen der Gruppentheorie besteht eine fundamentale Aufgabe darin, die Klassifizierung aller inäquivalenten irreduziblen Darstellungen einer gegebenen Gruppe zu finden.

Beispiel

Die in (5.117) angegebene Darstellung der symmetrischen Gruppe ist reduzibel. Durch die Basistransformation erhält man z.B. für die Darstellungsmatrix der Permutation :


mit als identische Darstellung von und .