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Direkte Produkte


Definition des direkten Produktes Es seien und Gruppen, deren Gruppenoperation (z.B. Addition oder Multiplikation) mit bezeichnet sein soll. Im kartesischen Produkt (5.64a) kann man durch die folgende Vorschrift eine Operation einführen:
(5.101a)

Damit wird zu einer Gruppe, die das direkte Produkt von und genannt wird.
Mit wird das Einselement von bezeichnet, und ist das inverse Element zu .
Für endliche Gruppen gilt
(5.101b)

Die Gruppen bzw.  sind zu bzw. isomorphe Normalteiler von
Das direkte Produkt ABELscher Gruppen ist wieder abelsch.
Für zyklische Gruppen gilt: Das direkte Produkt zweier zyklischer Gruppen ist genau dann zyklisch, wenn der größte gemeinsame Teiler der Gruppenordnungen gleich 1 ist.

Beispiel A

Mit und wird eine zu isomorphe Gruppe, die u.a. von erzeugt wird.

Beispiel B

Andererseits ist nicht zyklisch. Diese Gruppe der Ordnung 4 wird auch KLEINsche Vierergruppe genannt und beschreibt die Deckabbildungen eines Rechtecks.


2. Basissatz für Abelsche Gruppen Da die Bildung des direkten Produktes eine Konstruktion ist, mit der aus ,,kleineren`` Gruppen ,,größere`` gewonnen werden, entsteht umgekehrt die Frage, wann lassen sich große Gruppen als direktes Produkt kleinerer Gruppen darstellen, d.h., wann ist isomorph zu ? Für ABELsche Gruppen gibt darüber der sogenannte Basissatz Auskunft:
Jede endliche ABELsche Gruppe ist als direktes Produkt zyklischer Gruppen von der Primzahlpotenzordnung darstellbar.