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Weitere Mengenoperationen

Außer den in den vorhergehenden Abschnittenen für zwei Mengen und eingeführten Mengenoperationen werden noch die Differenzmenge oder Differenz die Diskrepanz oder symmetrische Differenz sowie das kartesische Produkt erklärt.
1. Differenz zweier Mengen: Die Menge der Elemente von , die nicht zu gehören, heißt die Differenz oder Differenzmenge von und
(5.63a)

Wird durch die Eigenschaft und durch die Eigenschaft beschrieben, dann liegen in die Elemente, die zwar die Eigenschaft nicht aber die Eigenschaft besitzen.
In der linken Abbildung ist die Differenz zweier Mengen schattiert dargestellt.

Beispiel


2. Symmetrische Differenz zweier Mengen: Die symmetrische Differenz ist die Menge aller Elemente, die zu genau einer der beiden Mengen und gehören:

(5.63b)

Aus der Definition folgt, daß gilt
(5.63c)

d.h. die symmetrische Differenz enthält die Eelemente, die genau eine der beiden Eigenschaften (zu ) und (zu ) besitzen. In der rechten Abbildung ist die symmetrische Differenz schattiert dargestellt.



Beispiel


3. Kartesisches Produkt zweier Mengen:

(5.64a)

Die Elemente von heißen geordnete Paare und sind durch
(5.64b)

charakterisiert.
Die Anzahl der Elemente im kartesischen Produkt zweier endlicher Mengen beträgt
(5.65)

Beispiel

Für und ergibt sich und mit .

Beispiel

Mit dem kartesischen Produkt  ( Menge der reellen Zahlen) kann man alle Punkte der -Ebene beschreiben.
Die Menge der Koordinaten () wird durch dargestellt, denn es gilt:



4. Kartesisches Produkt aus n Mengen: Aus Elementen werden durch Festlegung einer bestimmten Reihenfolge (1. Element, 2. Element,...,-tes Element) geordnete -Tupel gebildet. Sind die Elemente, dann notiert man das -Tupel als , wobei -te Komponente genannt wird. Für spricht man von Tripel, Quadrupel und Quintupel .
Das -fache kartesische Produkt ist dann die Menge aller geordneten -Tupel mit

(5.66a)

Sind alle endliche Mengen, dann beträgt die Anzahl der geordneten Elemente
(5.66b)

Hinweis: Das -fache kartesische Produkt einer Menge mit sich selbst wird mit bezeichnet.