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Definition

Eine Menge versehen mit einer binären Operation heißt Gruppe , wenn Eine Gruppe ist also eine spezielle Halbgruppe.
Das neutrale Element einer Gruppe ist eindeutig bestimmt. Außerdem besitzt jedes Gruppenelement genau ein Inverses. Ist die Operation kommutativ, so spricht man von einer ABELschen Gruppe .
Ist die Gruppenoperation als Addition + geschrieben, so wird das neutrale Element mit 0 und das inverse Element eines Elementes mit bezeichnet.

Beispiele für Gruppen

Beispiel A

Zahlenbereiche (außer ) bezüglich Addition.

Beispiel B

und bezüglich Multiplikation.

Beispiel C

bijektiv bezüglich Hintereinanderausführung von Abbildungen (symmetrische Gruppe).

Beispiel D

Man betrachte die Menge aller Deckabbildungen eines regelmäßigen -Ecks in der Ebene. Dabei beschreibt eine Deckabbildung den Übergang zwischen zwei Symmetrielagen des -Ecks, d.h. die Bewegung des -Ecks in eine deckungsgleiche Lage. Werden mit eine Drehung um und mit die Spiegelung an einer Achse bezeichnet, so hat Elemente:


Bezüglich der Hintereinanderausführung von Abbildungen bildet eine Gruppe, die Diedergruppe . Dabei gilt und
Der Name ,,Diedergruppe`` erklärt sich daraus, daß man das -Eck als starren Körper auffaßt, der von zwei ebenen Flächenstücken (``Di-eder``) begrenzt wird.

Beispiel E

Alle regulären Matrizen über den reellen bzw. komplexen Zahlen bezüglich Multiplikation.

Hinweis: Matrizen spielen in Anwendungen eine besondere Rolle, insbesondere zur Darstellung linearer Transformationen. Lineare Transformationen lassen sich durch Matrizengruppen klassifizieren.