Definition der Stetigkeit
Eine Funktion 
heißt an der Stelle 
stetig , wenn
1. 
an der Stelle 
definiert ist und
2. der Grenzwert 
existiert und gleich 
ist.
Das ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem vorgegebenen 
ein
gibt, so daß
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(2.30) |
gilt.
Man spricht von einseitiger ( links - oder rechtsseitiger )
Stetigkeit , wenn anstelle von 
nur einer der beiden
Grenzwerte
oder 
existiert und
gleich 
oder 
ist.
Wenn eine Funktion für alle Werte 
in einem gegebenen Intervall von
bis 
stetig ist, dann wird die Funktion stetig in diesem Intervall genannt, das als
Zahlenintervall offen, halboffen oder abgeschlossen sein kann.
Ist eine Funktion für alle Punkte der Zahlengerade definiert und stetig, dann heißt
sie überall stetig .
Eine Funktion besitzt für den Wert 
der sich im Inneren oder auf dem Rande des
Definitionsbereiches befindet, eine Unstetigkeitsstelle , wenn dort die Funktion
nicht definiert ist oder wenn
nicht mit dem Grenzwert
übereinstimmt bzw. dieser Grenzwert nicht existiert.
Wenn die Funktion nur auf einer Seite von
definiert ist, z.B. 
für
und 
für 
dann wird nicht von einer Unstetigkeitsstelle,
sondern von einem Abbrechen der Funktion gesprochen.
Eine Funktion
wird stückweise stetig genannt, wenn sie in allen Punkten
eines Intervalls mit Ausnahme endlich vieler einzelner Punkte stetig ist und in ihren
Unstetigkeitsstellen endliche Sprünge besitzt.
