Methode der kleinste Quadrate

Methode der kleinste Quadrate

Es seien

Wertepaare

, z.B. durch Messung gefundene Werte, vorgegeben. Gesucht wird eine Funktion

, deren Funktionswerte

von den gegebenen Werten

in dem Sinne möglichst wenig abweichen, daß der quadratische Ausdruck

(19.176)

minimal wird, und zwar in Abhängigkeit von den Parametern, die die Funktion

enthält. Die Formel (19.176) stellt die klassische Fehlerquadratsumme dar. Die Minimierung der Fehlerquadratsumme mit Hilfe der notwendigen Bedingungen für ein relatives Extremum wird auch als als Methode der kleinsten Quadrate bezeichnet. Mit dem Ansatz (19.167) und den notwendigen Bedingungen

für ein relatives Minimum von (19.176) erhält man zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten das lineare Gleichungssystem der Normalgleichungen

(19.177)

im diskreten Fall. Dabei werden in Anlehnung an die GAUSSsche Summensymbolik die folgenden Abkürzungen verwendet:

(19.178a)

(19.178b)

In der Regel gilt

Beispiel

Für den Polynomansatz lauten die Normalgleichungen
mit
.
Die Koeffizientenmatrix des Normalgleichungssystems (19.177) ist symmetrisch, so daß für die numerische Lösung das CHOLESKY-Verfahren in Frage kommt.

Beispiel
	Für den Polynomansatz lauten die Normalgleichungen mit . Die Koeffizientenmatrix des Normalgleichungssystems (19.177) ist symmetrisch, so daß für die numerische Lösung das CHOLESKY-Verfahren in Frage kommt.