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Lineare Ausgleichsaufgaben

Gegeben sei das überbestimmte lineare Gleichungssystem
(19.37)

in Matrixschreibweise
(19.38)

Die Koeffizientenmatrix , die vom Typ ist, habe den Maximalrang , d.h., ihre Spalten sind linear unabhängig. Da ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem in der Regel keine Lösung hat, geht man von (19.37) zu den sogenannten Fehlergleichungen
(19.39)

mit den Residuen über und verlangt, daß die Summe der Quadrate der Residuen minimal wird:
(19.40)

Die Aufgabe (19.40) wird als lineare Ausgleichsaufgabe oder lineares Quadratmittelproblem bezeichnet. Die notwendigen Bedingungen dafür, daß die Fehlerquadratsumme ein relatives Minimum annimmt, lauten
(19.41)

und führen auf das lineare Gleichungssystem

(19.42)

Der Übergang von (19.38) zu (19.42) wird als GAUSS-Transformation bezeichnet, da das System (19.42) durch Anwendung der GAUSSschen Fehlerquadratmethode aus (19.38) entstanden ist. Da für Maximalrang vorausgesetzt wurde, ist eine positiv definite Matrix vom Typ , und die sogenannten Normalgleichungen (19.42) können mit Hilfe des CHOLESKY-Verfahrens numerisch gelöst werden.

Bei der Lösung des Normalgleichungssystems (19.42) können numerische Probleme auftreten, wenn die Konditionszahl (s. Lit. 19.27) der Matrix sehr groß ist. Die Lösung kann dann große relative Fehler haben. Deshalb ist es numerisch günstiger, zur Lösung linearer Ausgleichsaufgaben Orthogonalisierungsverfahren zu verwenden.