Orthogonalisierungsverfahren
Grundlage der folgenden Orthogonalisierungsverfahren zur Lösung der linearen
Ausgleichsaufgabe (19.40) sind die folgenden Aussagen:
1. Die Länge eines Vektors bleibt unter orthogonalen Transformationen invariant,
d.h., die Vektoren 
und 
mit
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(19.43) |
haben dieselbe Länge.
2. Zu jeder Matrix 
vom Typ 
mit Maximalrang 
existiert eine orthogonale Matrix 
vom Typ 
,
so daß gilt:
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(19.44) |
mit
 |
(19.45) |
Dabei ist 
eine Rechtsdreiecksmatrix vom Typ 
,
und 
ist eine Nullmatrix vom Typ 
.
Die Faktorisierung (19.43) der Matrix 
heißt
QR-Zerlegung .
Damit können die Fehlergleichungen (19.39) in das äquivalente
System
 |
(19.46) |
überführt werden, ohne daß dabei die Summe der Quadrate der Residuen verändert
wird.
Aus (19.46) folgt, daß diese Quadratsumme für
minimal wird und der Minimalwert gleich
der Summe der Quadrate von 
bis 
ist.
Die gesuchte Lösung
erhält man durch Rückwärtseinsetzen aus
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(19.47) |
wobei 
der Vektor ist, der aus den Werten
aus (19.46)
gebildet wird.
Zur schrittweisen Überführung von (19.39) in (19.46) werden vor
allem zwei Methoden verwendet:
1. GIVENS-Transformation,
2. HOUSEHOLDER-Transformation.
Die erste erzeugt eine QR-Zerlegung der Matrix
durch
Drehungen , die zweite durch Spiegelungen .
Die numerischen Realisierungen findet man in Lit. 19.26.
Praktische Aufgaben der linearen Quadratmittelapproximation werden vorwiegend mit der
HOUSEHOLDER-Transformation gelöst, wobei man in vielen Fällen noch die
spezielle Struktur der Koeffizientenmatrix
wie Bandstruktur oder
schwache Besetztheit ausnutzen kann.
