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Ergodische dynamische Systeme

Ein dynamisches System auf mit invariantem Maß heißt ergodisch (man sagt auch, das Maß ist ergodisch), wenn für jede BOREL-Menge mit entweder oder 0 ist.
Ist ein diskretes dynamisches System (17.3), ein Homöomorphismus, ein kompakter metrischer Raum, so existiert immer ein invariantes ergodisches Maß.

Beispiel A

Gegeben sei die Rotationsabbildung des Kreises

(17.31)

mit , definiert durch . Das LEBESGUE-Maß ist invariant unter . Ist irrational, so ist (17.31) ergodisch; ist rational, so ist (17.31) nicht ergodisch.

Beispiel B

Dynamische Systeme mit stabilen Ruhelagen oder stabilen periodischen Orbits als Attraktoren sind bezüglich des natürlichen Maßes ergodisch.

Ergodensatz von Birkhoff: Das dynamische System sei ergodisch bezüglich des invarianten Wahrscheinlichkeitsmaßes . Dann stimmen für jede integrierbare Funktion die Zeitmittel entlang des positiven Semiorbits , d.h. für Flüsse und für diskrete Systeme, für -fast alle Punkte mit dem Raummittel überein.