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ein 
-periodischer Orbit von
(17.1) und 
eine 
-dimensionale glatte Hyperfläche,
die in 
den Orbit 
transversal schneidet (s. linke Abbildung).
von
und eine glatte Funktion
mit 
und
für alle 
.
Die Abbildung 
mit 
heißt POINCARÉ-Abbildung für
in 
.
Ist die rechte Seite 
von (17.1) 
-mal stetig differenzierbar,
so ist 
ebenfalls so oft differenzierbar.
Die Eigenwerte der JACOBI-Matrix 
sind die Multiplikatoren
des periodischen Orbits , hängen also nicht
von der Wahl des
auf
und der Wahl der transversalen Fläche ab.
Der POINCARÉ-Abbildung kann ein System (17.3) in 
zugeordnet werden, das erklärt ist, solange die Bildpunkte in
bleiben.
Den Ruhelagen dieses diskreten Systems entsprechen periodische Orbits von
(17.1), und der Stabilität dieser Ruhelagen entspricht die
Stabilität der periodischen Orbits von (17.1).
| Beispiel | |
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Für das System (17.9a) wird in Polarkoordinaten die transversale Hyperebene 
gewählt werden.
Offenbar ist 
und damit
und  .
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