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- und
-Grenzmengen besitzen für den Fluß der Differentialgleichung
(17.1) mit 
die folgenden Eigenschaften.
Sei 
ein beliebiger Punkt. Dann gilt:
und 
sind abgeschlossen.
bzw. 
beschränkt, so ist
bzw. 
.
Außerdem ist
bzw.
in diesem Fall invariant unter dem Fluß
von (17.1) und zusammenhängend.
| Beispiel | |
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Ist z. B. | |
2. Satz von Poincaré-Bendixson:
Für eine ebene autonome Differentialgleichung (17.1)
(d.h. 
)
gilt der Satz von POINCARÉ-BENDIXSON:
Sei 
eine nicht periodische Lösung von
(17.1), für die 
beschränkt ist.
Enthält 
keine Ruhelagen von (17.1), so ist
ein periodischer Orbit von (17.1).
Für autonome Differentialgleichungen in der Ebene sind also Attraktoren, die
komplizierter als eine Ruhelage oder ein periodischer Orbit sind, nicht möglich.
3. Grenzzyklen:
Ein periodischer Orbit 
von (17.1) heißt
Grenzzyklus , wenn es ein 
gibt, so daß entweder
oder 
gilt.
Ein Grenzzyklus heißt stabiler Grenzzyklus , wenn eine Umgebung 
von
existiert, so daß 
für alle 
ist, und
instabiler Grenzzyklus , wenn eine Umgebung
von
existiert, so
daß 
für alle
ist.
| Beispiel A | |
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Für den Fluß von (17.9a) gilt für den periodischen Orbit
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| Beispiel B | |
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Für die lineare Differentialgleichung | |
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die Eigenschaft
für alle 
.
Also ist 
eine Umgebung von 
,
mit der 
ist dagegen
ein periodischer Orbit, aber
kein Grenzzyklus (s. Abbildung).
