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Klassifizierung und Stabilität der Ruhelagen

Sei eine Ruhelage von (17.1). Das lokale Verhalten der Orbits von (17.1) nahe wird, unter gewissen Voraussetzungen, durch die Variationsgleichung beschrieben, wobei die JACOBI-Matrix von in ist. Besitzt keinen Eigenwert mit Re, so heißt die Ruhelage hyperbolisch . Die hyperbolische Ruhelage ist vom Typ , wenn genau Eigenwerte mit negativem Realteil und Eigenwerte mit positivem Realteil besitzt. Die hyperbolische Ruhelage vom Typ heißt Senke , wenn ist, Quelle , wenn ist, und Sattel , wenn und ist (s. die folgenden Abbildungen).
Es gilt der folgende
Satz über Stabilität in der ersten Näherung für kontinuierliche dynamische Systeme: Eine Senke ist asymptotisch stabil; Quellen und Sattel sind instabil.

Im Rahmen der drei topologischen Grundtypen von hyperbolischen Ruhelagen (Senke, Quelle und Sattelpunkte) sind weitere algebraische Unterscheidungen üblich. So heißt eine Senke (Quelle) stabiler Knoten ( instabiler Knoten ), wenn alle Eigenwerte der JACOBI-Matrix reell sind, und stabiler Strudel ( instabiler Strudel ), wenn Eigenwerte mit nicht verschwindendem Imaginärteil vorliegen. Für ergibt sich daraus eine Einteilung der Sattelpunkte in Sattelknoten und Sattelstrudel.

In den folgenden Abbildungen sind für die drei toplogischen Grundtypen jeweils links die Eigenwerte der JACOBI-Matrix und rechts das Phasenporträt dargestellt.
Senke:



Quelle:



Sattelpunkt: