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Satz von Lyapunov über asymptotische Stabilität

Eine skalarwertige Funktion heißt positiv definit in einer Umgebung des Punktes , wenn gilt:
1. ist stetig.
2. für alle und .
Sei eine offene Teilmenge und eine stetige Funktion. Die Funktion heißt LYAPUNOV- Funktion von (17.1) in , falls nicht wächst, solange für die Lösung gilt.
Der Satz von LYAPUNOV über asymptotische Stabilität lautet:
Sei eine LYAPUNOV-Funktion von (17.1) und sei positiv definit in einer Umgebung von . Dann ist stabil. Gilt außerdem, daß aus für eine Lösung von (17.1) mit immer folgt, so ist die Ruhelage sogar asymptotisch stabil.

Beispiel

Der Punkt ist Ruhelage der ebenen Differentialgleichung . Mit liegt eine Funktion vor, die positiv definit in jeder Umgebung von ist und für deren Ableitung entlang einer beliebigen Lösung für gilt. Also ist asymptotisch stabil.