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Lyapunov-Stabilität und orbitale Stabilität

Betrachtet wird die nichtautonome Differentialgleichung (17.11). Die Lösung von (17.11) heißt LYAPUNOV-stabil , wenn gilt:
   
    (17.16a)

Die Lösung heißt asymptotisch stabil im Sinne von LYAPUNOV, wenn sie stabil ist und gilt:
   
    (17.16b)

Für die autonome Differentialgleichung (17.1) läßt sich neben der LYAPUNOV-Stabilität der Lösungen auch die orbitale Stabilität betrachten. Die Lösung von (17.1) heißt orbital stabil ( asymptotisch orbital stabil ), wenn der Orbit stabil (asymptotisch stabil) im Sinne einer invarianten Menge ist. Eine Lösung von (17.1), die eine Ruhelage repräsentiert, ist genau dann LYAPUNOV-stabil, wenn sie orbital stabil ist. Schon für periodische Lösungen von (17.1) können sich beide Stabilitätsarten unterscheiden.

Beispiel

Gegeben sei ein Fluß in , der den Torus als invariante Menge besitzt. Lokal sei in Winkelkoordinaten der Fluß beschrieben durch , wobei eine -periodische glatte Funktion sei, für die gilt:


Eine beliebige Lösung mit Anfang auf dem Torus ist gegeben durch

An dieser Darstellung erkennt man, daß jede Lösung orbital stabil ist, aber nicht LYAPUNOV-stabil (s. Abbildung).