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Berechnung mehrfacher Integrale
Zunächst soll für Funktionen einer Variablen die Transformation des bestimmten
Integrals
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(16.175) |
auf einen Ausdruck gezeigt werden, der das Integral
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(16.176) |
enthält.
Danach kann die Monte-Carlo-Methode gemäß Beispiel für eine
Monte-Carlo-Simulation angewendet werden.
Man substituiert wie folgt:
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(16.177) |
Dadurch geht (16.175) über in
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(16.178) |
wobei der Integrand 
der Bedingung
genügt.
Die näherungsweise Berechnung mehrfacher Integrale mit Hilfe der Monte-Carlo-Methode
wird am Beispiel des Doppelintegrals
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(16.179) |
gezeigt.
Mit 
wird ein ebenes Flächenstück bezeichnet, das durch die Ungleichungen
und 
beschrieben sein soll.
Mit 
und 
sind gegebene Funktionen bezeichnet.
Dann kann 
als Volumen eines zylinderischen Körpers 
aufgefaßt werden, der
senkrecht auf der 
-Ebene steht und für dessen Deckfläche 
gilt.
Dieser Körper liege in dem Quader 
,
der durch die Ungleichungen
beschrieben wird.
Nach einer Transformation analog zu (16.177) erhält man aus (16.179)
einen Ausdruck, der das Integral
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(16.180) |
enthält, wobei 
als Volumen eines Körpers 
im dreidimensionalen
Einheitswürfel aufgefaßt werden kann.
Das Integral (16.180) wird näherungsweise nach der Monte-Carlo-Methode wie
folgt berechnet:
Von einer Folge von Zufallszahlen, die im Intervall 
gleichverteilt sein sollen,
faßt man je 3 als Koordinaten eines Punktes 
des
Einheitswürfels auf und prüft, ob 
dem Körper
angehört.
Ist das für 
Punkte der Fall, dann gilt analog zu (16.173)
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(16.181) |
Bei bestimmten Integralen mit einer Integratisionsveränderlichen sollte man die im
Abschnitt Numerische Integration beschriebenen Verfahren anwenden.
Bei der Berechnung mehrfacher Integrale ist dagegen die Anwendung der
Monte-Carlo-Methode durchaus zweckmäßig.
