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Lösung partieller Differentialgleichungen durch Irrfahrtsprozesse
Mit Hilfe von Irrfahrtsprozessen wird die Monte-Carlo-Methode zur genäherten
Lösung von partiellen Differentialgleichungen realisiert.
Es wird die folgende Randwertaufgabe betrachtet:
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(16.182a) |
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(16.182b) |
Hierbei ist 
ein einfach zusammenhängendes Gebiet der 
-Ebene; mit
ist der Rand von
bezeichnet.
Wie bei den Differenzenmethoden im Abschnitt Differenzenverfahren
wird
mit einem quadratischen Gitter überzogen, bei dem ohne Beschränkung der
Allgemeinheit die Schrittweite 
gewählt werden soll.
Auf diese Weise entstehen innere Gitterpunkte 
und Randpunkte 
.
Von den Randpunkten ,
die auch Gitterpunkte sind, wird zunächst zur Vereinfachung
angenommen, daß sie tatsächlich auf dem Rand
von
liegen, d.h., es soll
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(16.183) |
gelten (s. Abbildung).
Lösungsprinzip
Man stellt sich vor, daß ein Teilchen von einem inneren Punkt
aus zu einer
Irrfahrt startet. Das bedeutet:
1. Das Teilchen bewegt sich von
aus zufällig zu einem der 4
Nachbarpunkte des Gitters.
Jedem dieser 4 Gitterpunkte wird die Wahrscheinlichkeit 
für eine Bewegung zu
diesem Punkt zugeordnet.
2. Erreicht das Teilchen einen Randpunkt ,
dann endet dort die Irrfahrt mit
der Wahrscheinlichkeit 1.
Es läßt sich zeigen, daß ein Teilchen nach endlich vielen Schritten von einem
inneren Punkt 
aus einen Randpunkt 
erreicht.
Mit
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(16.184) |
wird die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, daß eine Irrfahrt vom Punkt
aus in
dem Randpunkt
endet.
Dann gilt
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(16.185) |
und
Diese Gleichung (16.186) stellt eine Differenzengleichung für 
dar.
Werden 
Irrfahrten vom Punkt
aus durchgeführt, von denen 
im Punkt
enden 
,
dann gilt
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(16.187) |
Diese Gleichung (16.187) gibt eine Näherungslösung der Differentialgleichung
(16.182a) unter der Bedingung (16.183) an.
Die Randbedingung (16.182b) wird dagegen berücksichtigt, indem man
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(16.188) |
setzt; denn wegen (16.186) gilt
.
Zur Berechnung von 
wird (16.186) mit 
multipliziert.
Nach Summation erhält man die folgende Differenzengleichung für :
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(16.189) |
Werden
Irrfahrten vom inneren Punkt
aus durchgeführt, von denen 
im
Randpunkt 
enden, dann erhält man durch
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(16.190) |
einen Näherungswert im Punkt
des Randwertproblems (16.182a,b).
