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Prinzip der analytischen Fortsetzung

Es wird der Fall betrachtet, daß die Konvergenzkreise um und um zweier Potenzreihen
(14.49a)

ein gewisses Gebiet gemeinsam haben (s. Abbildung) und daß in diesem gilt

(14.49b)



Dann sind die beiden Potenzreihen die zu den Punkten und gehörenden TAYLOR-Entwicklungen ein- und derselben analytischen Funktion . Die Funktion heißt analytische Fortsetzung der nur in definierten Funktion in das Gebiet hinein.

Beispiel

Die geometrischen Reihen mit dem Konvergenzkreis um und mit dem Konvergenzkreis um haben jede in ihrem Konvergenzkreis und in dem gemeisamen (in der Abbildung doppelt schraffierten) Konvergenzgebiet dieselbe für analytische Funktion als Summe. Daher ist analytische Fortsetzung von aus in hinein (und umgekehrt).