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heißt Spektrum des Operators
.
Da 
offenbar genau dann einen stetigen Inversen (und demzufolge die Gleichung
(12.149) immer eine Lösung, die stetig von der rechten Seite abhängt) besitzt,
wenn 
,
ist eine möglichst umfassende Kenntnis des Spektrums
des Operators erforderlich.
Aus den Eigenschaften der Resolventenmenge folgt sofort, daß das Spektrum
eine abgeschlossene Teilmenge von 
ist, die im Kreis
liegt, wobei in vielen Fällen
deutlich kleiner als dieser Kreis ist.
Für jeden linearen stetigen Operator auf einem komplexen BANACH-Raum ist das
Spektrum nicht leer, und es gilt die Formel
Ist 
ein Operator in einem endlichdimensionalen Raum 
und hat die Gleichung
nur die triviale Lösung (d.h., 
ist injektiv),
dann folgt bereits 
(d.h.,
ist surjektiv).
Hat diese Gleichung in irgendeinem BANACH-Raum eine nichttriviale Lösung, dann
ist der Operator
nicht injektiv und 
ist im allgemeinen
nicht definiert.
Die Zahl 
heißt Eigenwert des linearen Operators ,
wenn
die Gleichung 
eine nichttriviale Lösung besitzt.
Alle diese Lösungen heißen Eigenvektoren oder, falls
ein Funktionenraum
ist (was in Anwendungen offenbar zutrifft), Eigenfunktionen des Operators
zu
.
Der von ihnen aufgespannte Teilraum heißt der Eigenraum zu .
Die Menge 
aller Eigenwerte von
heißt Punktspektrum des
Operators .
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