Resolventenmenge und Resolvente eines Operators
Bei Untersuchungen zur Lösbarkeit von Gleichungen ist man bestrebt, das Problem auf die
Form
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(12.149) |
mit einem Operator 
von möglichst kleiner Norm zu bringen, da diese wegen
(12.139) und (12.140) für eine
funktionalanalytische Behandlung besonders zugänglich ist.
Um mit der Theorie auch große Werte von 
zu erfassen, untersucht man in einem
komplexen BANACH-Raum 
die gesamte Schar von Gleichungen
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(12.150) |
Sei
ein linearer, im allgemeinen unbeschränkter Operator im BANACH-Raum .
Die Menge 
aller komplexen Zahlen, für die
gilt, heißt Resolventenmenge und der
Operator 
Resolvente .
Sei jetzt
ein beschränkter linearer Operator in einem komplexen BANACH-Raum
.
Dann gelten die Aussagen:
1. Die Menge
ist offen. Genauer, ist 
und genügt 
der Ungleichung
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(12.151) |
dann existiert 
,
und es gilt
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(12.152) |
2. 
.
Genauer, für
mit 
existiert 
und
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(12.153) |
3. 
,
wenn
,
und
,
wenn
.
4. 
,
wenn 
.
5. Für ein beliebiges Funktional 
und beliebiges 
ist
eine holomorphe Funktion auf 
.
6. Für beliebige 
gilt
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(12.154) |
