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Methode der sukzessiven Approximation

Die Methode der sukzessiven Approximation eignet sich zur Lösung einer Gleichung der Form
(12.145)

mit einem stetigen linearen Operator im BANACH-Raum bei vorgegebenem . Sie besteht darin, ausgehend von einer beliebigen Anfangsnäherung , eine Folge von Näherungslösungen nach der Vorschrift
(12.146)

zu erzeugen, die in zur Lösung von (12.145) konvergiert. Die Konvergenz der Methode, also basiert auf der Konvergenz der Reihe (12.140) mit .

Sei , dann gelten die folgenden Aussagen:
a) Der Operator besitzt einen stetigen Inversen mit , und die Gleichung (12.145) hat genau eine Lösung für beliebiges .
b) Die Reihe (12.140) konvergiert, und ihre Summe ist der Operator .
c) Das Verfahren (12.146) konvergiert für einen beliebigen Anfangswert zur eindeutigen Lösung der Gleichung (12.145), falls die Reihe (12.140) konvergiert. Dabei gilt die Abschätzung

(12.147)


Analog (s. Lineare Integralgleichungen und Lit. 12.9) behandelt man Gleichungen der Typen
(12.148)