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Satz von Banach über die Stetigkeit des inversen Operators


Satz: Ist ein linearer stetiger bijektiver Operator von auf , dann ist der inverse Operator stetig.
Anwendungen: Als wichtige Anwendungen ergeben sich daraus beispielsweise die Stetigkeit von bei Injektivität und Surjektivität von , was bei der Untersuchung des Spektrums eines Operators von Bedeutung ist, sowie die
Stetige Abhängigkeit der Lösung sowohl von der rechten Seite als auch von den Anfangswerten bei Anfangswertproblemen für lineare Differentialgleichungen .
Das soll an der folgenden Anfangswertaufgabe gezeigt werden:

Beispiel

Das Anfangswertproblem

(12.144a)

mit den Koeffizienten besitzt für jede rechte Seite und jedes Zahlenpaar genau eine Lösung aus , die im folgenden Sinne stetig von und abhängt. Sind und gilt für
(12.144b)

dann gilt:

(12.144c)