Sobolew-Räume
Sei 
ein beschränktes Gebiet (d.h. eine offene zusammenhängende
Menge) mit hinreichend glattem Rand 
.
Für 
oder 
stelle man sich 
etwa als ein Intervall 
oder
eine konvexe Menge vor.
Eine Funktion 
nennt man 
-mal
stetig differenzierbar in dem abgeschlossenen Gebiet 
,
wenn
a) 
auf 
-mal stetig differenzierbar ist und
b) jede ihrer partiellen Ableitungen einen Grenzwert besitzt, wenn 
zu einem
beliebigen Randpunkt von
konvergiert;
mit anderen Worten, jede partielle Ableitung von
ist stetig auf den Rand von
fortsetzbar.
In diesem Vektorraum wird mit dem LEBESGUE-Maß 
im
die folgende Norm eingeführt:
 |
|
|
(12.88) |
Der entstandene normierte Raum wird mit 
bezeichnet
(im Unterschied zu dem mit einer ganz anderen Norm versehenen Raum
).
Hier bedeutet 
einen Multiindex , d.h. ein geordnetes 
-Tupel
von nichtnegativen ganzen Zahlen, wobei die Summe der
Komponenten von
mit 
bezeichnet wird.
Für eine Funktion 
mit
nutzt man - wie in (12.88) -
die verkürzte Schreibweise
 |
(12.89) |
Der normierte Raum 
ist nicht vollständig.
Seine Vervollständigung wird mit 
oder im Falle von 
mit
bezeichnet und heißt SOBOLEW-Raum .
