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eine Norm eingeführt
werden, deren Metrik den Bedingungen (12.80a) und (12.80b) genügt.
Zwei normierte Räume 
und 
heißen normisomorph , wenn es eine bijektive,
lineare Abbildung 
mit 
gibt.
Seien 
und 
zwei Normen auf einem Vektorraum 
,
die
zu dem normierten Raum 
bzw. 
machen.
Die Norm
heißt stärker als die Norm 
,
wenn es
eine Zahl 
mit 
gibt.
In diesem Falle impliziert die Konvergenz einer Folge 
zu 
im
Sinne der Norm 
,
also 
,
ihre
Konvergenz zu
im Sinne der Norm ,
also
.
Zwei Normen 
nennt man äquivalent , wenn es
zwei Zahlen 
gibt, so daß für 
gilt.
Auf einem endlichdimensionalen Vektorraum sind alle Normen äquivalent.
Unter einem Teilraum eines normierten Raums versteht man einen abgeschlossenen linearen Teilraum.
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